Civil Engineering CMU

Course Explorer
banner ce 215

S2: Steel Beam Tests

การทดสอบแรงดัดคานเหล็ก

(Flexural Test of Steel Beam)

 

บทนำ

การหาคำตอบสำหรับค่าความเค้นและความเครียดตามแนวแกนคาน (normal stress and strain) เนื่องจากการดัดของคานนั้น ไม่สามารถที่จะหาได้โดยสมการสมดุลของแรงเพียงอย่างเดียว แต่หากต้องนำสมการการเปลี่ยนรูปร่าง (geometry of deformation) และความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียด (equation relating stress and strain (โดยค่า Young’s modulus)) มาร่วมพิจารณาด้วย

การหาคำตอบจะเริ่มจาก

  1. การพิจารณาการเปลี่ยนรูปร่าง (geometry of deformation) ภายใต้แรงดัด ซึ่งจะได้สมการความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียดที่เกิดขึ้น
  2. จากสมการในขั้นตอน (1) เราสามารถเปลี่ยนค่าความเค้น เป็นความเครียดได้โดยอาศัยสมการความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียด
  3. สุดท้าย จะทำการพิจารณาสมการสมดุลของแรงเพื่อหาขนาดของแรงและโมเมนต์จากค่าความเค้นที่กระจายตลอดหน้าตัด

ทฤษฎี

การหาคำตอบสำหรับค่าความเค้นและความเครียดตามแนวแกนคาน (normal stress and strain) เนื่องจากการดัดของคานนั้นต้องอาศัยสมมติฐานที่สำคัญประกอบด้วย

  1. ระนาบตรงหน้าตัดคานยังคงรูประนาบตรงแม้หน้าตัดจะถูกดัดให้หมุนเอียงก็ตาม
  2. ภายใต้แรงดัด คานจะดัดเป็นรูปโค้งส่วนหนึ่งของวงกลม
  3. ค่า Young’s modulus สำหรับวัสดุมีค่าเท่ากันทั้งส่วน tension และ compression

รูปที่1 การเปลี่ยนรูปคานเนื่องจากแรงดัด

                พิจารณาส่วนคาน dx ภายใต้แรงดัด M เป็นโค้งส่วนหนึ่งของวงกลม มีจุดศูนย์กลางที่จุด O’ และรัศมีโค้ง rในรูปที่ 1 จากสมมติฐาน (1) กล่าวได้ว่า men และ pfq ยังคงเป็นระนาบตรงภายหลังการดัด แนวเส้น ss มีความยาวไม่เปลี่ยนแปลงซึ่งเรียกว่าแนวแกนสะเทิน (neutral axis) ในบริเวณส่วนบนเหนือแกนสะเทิน เช่น แนว mp และ ef จะเกิดการหดเข้า และส่วนใต้แกนสะเทินเช่น แนว nq จะเกิดการยืดออก จากรูปที่ 1 สามารถสร้างสมการการดัดโค้ง ได้ดังนี้

  (1)

โดยที่    คือ Curvature และ y คือ ระยะจากแนวแกนสะเทินมีค่าเป็นบวกในทิศขึ้น จากรูปที่ 1 ค่าความเครียดตามแนว ef  สามารถคำนวณได้จาก                                                                   

หรือ สามารถเขียนได้ในรูปของ

(2)

                จากสมการข้างต้น กล่าวได้ว่า ค่าของความเครียดจะมีการกระจายเป็นเส้นตรง มีค่าเป็นศูนย์ที่แนวแกนสะเทิน (ค่า y = 0) และมีค่าเป็นบวกมากที่สุด (tension) เมื่อค่า y เป็นค่าลบสูงสุด (ห่างจากแกนสะเทินไปทางด้านล่างไกลที่สุด) และมีค่าเป็นลบมากที่สุด (compression) เมื่อค่า y เป็นค่าบวกสูงสุด (ห่างจากแกนสะเทินไปทางด้านบนไกลที่สุด) และเมื่อพิจารณาที่สมการเพิ่มเติมจะเห็นว่า ความสัมพันธ์ดังกล่าวไม่ได้ขึ้นอยู่กับสภาวะอิลาสติกหรือพลาสติกความเป็นเชิงเส้นหรือไร้เชิงเส้น ของชนิดวัสดุ

                สำหรับวัสดุชนิดอิลาสติกในช่วงพิกัดยืดหยุ่นได้ สมการความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียดสามารถแสดงได้ดังนี้

                                                                                           

แทนค่าความเครียดจากสมการที่ (2) จะได้

                                                                                         (3)

                จากสมการที่ 3 ค่าความเค้นยังคงมีการกระจายในลักษณะเส้นตรงเช่นเดียวกับความเครียด (ตราบใดที่วัสดุยังคงเป็นชนิดอิลาสติกในช่วงพิกัดยืดหยุ่น) ดังแสดงในรูปที่ 2

            

          รูปที่ 2 การกระจายความเค้นบนหน้าตัด                   รูปที่ 3 แรงบนพื้นที่ dA ใด ๆ

                การกระจายของความเค้นบนหน้าตัดคาน ดังแสดงในสมการที่ (3) และรูปที่ 2 สามารถคำนวณหาแรงภายในได้โดยอาศัย สมการสมดุลของแรง ภายใต้แรงดัดเพียงอย่างเดียว (ไม่มีแรงอัด) ผลรวมของแรงตามแนวแกนจะต้องมีค่าเท่ากับ “ศูนย์”

                ดังแสดงในรูปที่ 3 สำหรับพื้นที่ dA ใด ๆ ค่าความเค้นมีค่า sxซึ่งสามารถคำนวณหาขนาดของแรงบนพื้นที่ได้ คือ  

                ดังนั้น ขนาดของแรงบนพื้นที่ทั้งหมดจึงมีค่าเท่ากับ

                  จากค่าหน่วยแรงในสมการที่ (3)  

เนื่องจากค่า  ต้องไม่เท่ากับ “ศูนย์” ดังนั้น  ซึ่งก็คือ สมการโมเมนต์ของพื้นที่สำหรับการหาตำแหน่งจุดศูนย์กลางพื้นที่ (แกนx)  และเป็นตำแหน่งของแนวแกนสะเทิน สำหรับสมดุลของโมเมนต์ บนพื้นที่ dx ใด ๆ สามารถแสดงได้ดังนี้

                  และสำหรับสมดุลของโมเมนต์ บนพื้นที่หน้าตัดทั้งหมด คือ

               

และเรียกเทอม  ว่าโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ (the 2nd moment of area) รอบแกนสะเทิน หรือค่า I  ดังนั้น                                                                                   (4)

                จากสมการที่ (4) เมื่อทราบค่าโมเมนต์ที่กระทำ จะสามารถคำนวณหารัศมีความโค้งของคานได้ และจากสมการที่ (3) และ (4) จะได้                                  (5)

เรียกสมการที่ (5) ว่า สมการหน่วยแรงดัด (Flexural stress formula)

                จากสมการที่ (3), (4) และ (5) สามารถนำมารวมกันได้ ดังนี้

                                                           (6)

โดยที่ :

                 - applied bending moment,

                 - second moment of area,

                 - normal stress,

                 - distance from neutral axis to point in question,

                 - Young’s modulus,

                 - radius of curvature,

เมื่อทำการหารสมการที่ (6) ด้วยค่า E จะได้

                                                                            (7)

จากสมการที่ (5) และ (6) จะเห็นว่า หน้าตัดใดๆ ที่มีค่า I มาก จะทำให้เกิดความเครียดและความเค้นน้อย

จากสมการที่ (1) และ (4) จะได้

               

                ในการคำนวณหาระยะแอ่นตัวเนื่องจากแรงดัด สามารถคำนวณหาได้โดยการแก้สมการ ดังกล่าวข้างต้น โดยสามารถทำได้หลายวิธี ได้แก่ Double integration method หรือ Moment of area method หรือ Conjugate beam method

                สำหรับคานที่ รับแรงกระทำแบบจุด ดังแสดงในรูปที่ 4 สามารถหาสมการระยะแอ่นตัว y(x) ได้ดังนี้

 

 

 

 

รูปที่ 4ระยะแอ่นตัวอิลาสติก ไดอะแกรมแรงเฉือน และไดอะแกรมแรงดัด ของคานรับแรงกระทำแบบจุด 2 จุด

 

 

 

 

 

 

 

 

วัตถุประสงค์

  1. เพื่อตรวจหาค่าความเครียดที่เกิดจากแรงกระทำแบบจุด 2 ตำแหน่ง ( 2-point loading)
  2. เพื่อหาการกระจายของความเครียด (Strain) และความเค้น (Stress) เนื่องจากโมเมนต์ดัด
  3. เพื่อคำนวณหาทิศทางหลักของความเครียด และความเค้น

วัตถุตัวอย่าง

คานเหล็กรูปพรรณ

เครื่องมือ

  • ชุดเครื่องให้แรง และเกจวัดขนาดแรง
  • เกจวัดระยะแอ่นตัว
  • เกจวัดความเครียด
  • เครื่อง Data logger

วิธีการทดสอบ

  1. วัดขนาดของคานเหล็กและคำนวณหาคุณสมบัติต่าง ๆ ของหน้าตัด
  2. คำนวณหาขนาดของแรงที่ทำให้คานเกิดการครากที่จัดแรก (Py) และคำนวณหาน้ำหนักทดสอบ (Ptest) โดยให้มีค่าเท่ากับ 0.5Py (เพื่อไม่ให้หน่วยแรงเกินพิกัดยืดหยุ่น)
  3. ติดตั้งเครื่องวัดความเครียด (Strain gauge) ในตำแหน่งที่เกิดค่าโมเมนต์มากที่สุด ที่แนวที่ไกลจากแนวแกนสะเทินมากที่สุด ที่ระยะ (y+) และ (y-) จำนวน 4 ตำแหน่ง ดังแสดงในรูปที่ 1
  4. จัดตัวอย่างคานบนเครื่องทดสอบการให้น้ำหนัก และติดตั้งเครื่องวัดระยะแอ่นตัวที่กึ่งกลางคาน (รูปที่ 1)
  5. แบ่งช่วงการทดสอบออกเป็น 10 ช่วง แรงกระทำ (load control) พร้อมบันทึกค่าการวัด

            5.1. ขนาดแรงกระทำ

            5.2. ค่าระยะแอ่นตัว

            5.3. ค่าความเครียด

 

      6.  นำค่าที่ได้ไปคำนวณ และเขียนรายงานผลการทดสอบที่ได้

           6.1. การกระจายของความเครียดและความเค้นบนหน้าตัด

           6.2. ค่า Young’s modulus ที่คำนวณได้จาก ความสัมพันธ์ของระยะแอ่นตัวและแรงกระทำ

           6.3. ค่า Young’s modulus ที่คำนวณได้จาก ความสัมพันธ์ของโมเมนต์ดัดและค่าความโค้ง

                                                                                                                      Beam section

รูปที่ 1การติดตั้งคานทดสอบ

ผลการวิเคราะห์

      1. ข้อมูลคุณสมบัติของคาน

  • หน้าตัดคาน…………………………………………..
  • มิติต่าง ๆ ของหน้าตัด
  • ระยะช่วงพาด (L)………………………
  • ระยะ shear span (a)……………………
  • ตำแหน่ง strain gauges

y1=…………………….mm.                          y2=…………………….mm.

y3=…………………….mm.                          y4=…………………….mm.

      2. ข้อมูลการทดสอบ

  • Py ที่คำนวณ……………………..
  • Ptest = 0.5Py = …………………

      3. รายงานผล

  • ไดอะแกรมแสดงการกระจายของความเครียดและความเค้นตามแนวแกนบนหน้าตัดที่น้ำหนักทดสอบ 0.5Ptest และที่น้ำหนักทดสอบสูงสุด (Ptest)
  • กราฟความสัมพันธ์ของระยะแอ่นตัวและแรงกระทำที่วัดได้ เทียบกับที่คำนวณได้
  • กราฟความสัมพันธ์ของโมเมนต์ดัดและค่าความโค้งที่วัดได้ เทียบกับที่คำนวณได้